Resolución ejercicio 1 subitem d de Práctica 4: Funciones exponenciales y logarítmicas de Matemática 51 UBA XXI Cátedra Rossomando

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Práctica 4: Funciones exponenciales y logarítmicas

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1. Graficar, hallar conjunto de positividad, negatividad, imagen y asintotas.

d) $f(x)=10^{x}$

Respuesta

Sabemos que el dominio de las funciones exponenciales son todos los reales. Es importante que lo recuerdes.

Hallemos el conjunto de ceros:

$10^x = 0$

$\log(10^x) = \log(0)$

Aplicamos la propiedad del ln:

$x \log (10) = \log (0)$ -> ¡absurdo!

Esto es absurdo, pues el logaritmo natural de cero no existe.

• $C^{0} = \emptyset$

Hallemos los conjuntos de positividad y negatividad:

Conociendo el conjunto de ceros y el dominio de la función podemos usar Bolzano.

Como $C^{0} = \emptyset$, eso significa que la funcion no cruza al eje $x$, es decir, es totalmente positiva o totalmente negativa.

Tomamos un valor cualquier y evaluamos la función:

$f(0)=10^{0}=1$

Viendo esto, podemos decir que la funcion es totalmente positiva, o sea: • $C^{+} = \Re$

• $C^{-} = \emptyset$

Hallemos la imagen, calculando su función inversa y calculando su dominio:

$y=10^x$

$y=10^x$, en este caso no tenemos base $e$, sino que tenemos base $10$, por lo tanto vamos a plantear el logaritmo en base 10 de ambos lados:

$\log_{10} (y) = \log_{10} (10^x)$

$\log_{10} (y) = x \log_{10} (10)$

$\log_{10} (y) = x$

cambio las variables: $\log_{10} (x) = y = f^{-1}(x)$

$y = \log_{10} (x)$ $f^{-1}(x) = \log_{10} (x)$

Calculamos su dominio:

$x>0$

$Domf^{-1} = (0 ;+\infty)$

• $Imf =(0 ;+\infty)$

Asíntotas verticales:

No hay, ya que no hay valores restringidos del dominio.

• No hay AV

Asintotas Horizontales:

$ \lim _{x \rightarrow \infty} 10^{x}=\infty $ Vemos que por el lado de infinito positivo no hay asintota. Sin embargo, por el lado de infinito negativo, tenemos asintota horizontal: $ \lim _{x \rightarrow-\infty} 10^{x}=10^{-\infty}=\frac{1}{10^{\infty}}=\frac{1}{\infty}=0

• Hay AH en $y=0$ por izquierda

La gráfica nos quedaría así:

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